Giám mục Giuse Lê Quý Thanh sinh ngày 19 tháng 3 năm 1900 tại An Hòa, nay thuộc phường Châu Giang, thị xã Duy Tiên, tỉnh Hà Nam, thuộc Tổng giáo phận Hà Nội.[5][6] Ông là cháu ba đời của bác học Lê Quý Đôn,[7] theo thông tin từ gia đình.[8] Tuy vậy, theo Kỷ yếu Giáo phận Phát Diệm, thông tin này không thể kiểm chứng.[9]

Thuở thiếu thời, cậu Thanh là nghĩa tử của linh mục Đinh, cựu giám đốc Trường Trung Tiểu học “Cụ Đinh” của địa phận.[8]